已知12a+31b=√15,求ab的最大值

主要内容：

本文详细介绍通过代入法、三角换元法、判别式法、中值替换法、不等式等方法计算ab在12a+31b=√15条件下的最大值。

思路一：直接代入法

根据已知条件，替换b，得到关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。

ab

=a(√15/31-12/31*a)

=-12/31*a^2+√15/31*a

=-12/31(a-√15/24)^2+5/496，

则当a=√15/24时，ab有最大值为5/496。

思路二：判别式法

设ab=p，得到b=p/a,代入已知条件关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。

12a+31b=√15,

12a+31p/a=√15,

12a^2-√15a+31p=0,对a的二次方程有：

判别式△=15-1488p≥0,即：

p≤5/496,

此时得ab=p的最大值=5/496。

思路三：三角换元法

将ab表示成三角函数，进而得ab的最大值。

由12a+31b=√15，要求ab的最大值，不妨设a，b均为正数，

设12a=√15(cost)^2，31b=√15(sint)^2，则：

a=√15/12(cost)^2,b=√15/31(sint)^2,代入得：

ab=√15/12(cost)^2*√15/31(sint)^2,

=5/496*(sin2t)^2,

当sin2t=±1时，ab有最大值=5/496。

思路四：中值代换法

设12a=√15/2+t,31b=√15/2-t，则：

a=(1/12)(√15/2+t),b=(1/31)(√15/2-t)

此时有：

ab=1/372*(√15/2+t)*(√15/2-t)

=1/372*(15/4-t^2)。

当t=0时，即：ab≤5/496,

则ab的最大值为5/496。

思路五：不等式法

当a，b均为正数时，则：

∵12a+31b≥2√372*ab,

∴(12a+31b)^2≥1488*ab,

15≥1488*ab,

即：ab≤5/496,

则ab的最大值为5/496。